Jika \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \), maka jumlah deret tak hingga \( \frac{1}{p}+\frac{1}{pq}+\frac{1}{pq^2}+\cdots+\frac{1}{pq^n} + \cdots \) adalah…
- \( 1 \)
- \( 1 \frac{1}{2} \)
- \( \frac{1}{2} \)
- \( \frac{q}{p} \)
- \( \frac{p}{q} \)
(Soal SPMB 2005)
Pembahasan:
Dari informasi yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \Leftrightarrow \frac{p+q}{pq} &= 1 \\[8pt] p+q &= pq \\[8pt] q &= pq-p \\[8pt] q &= p(q-1) \\[8pt] p &= \frac{q}{q-1} \end{aligned}
Dari deret tak hingga yang diberikan pada soal diketahui \( a = \frac{1}{p} \) dan rasio \( r = \frac{1}{q} \) sehingga kita peroleh hasil berikut:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{q}} = \frac{\frac{1}{p}}{\frac{q-1}{q}} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times \frac{q}{q-1} \\[8pt] &= \frac{1}{p} \times p = 1 \end{aligned}
Jawaban A.